Tổng hợp đầy đủ lý thuyết về góc và cung lượng giác cùng các dạng bài tập thường gặp trong đề thi toán lớp 10. Các em tham khảo ngay để đạt điểm cao bài tập phần này nhé!

Bạn đang xem: các góc lượng giác đặc biệt

Tác giả

Cô Hiền Trần

1,204

Cung và góc lượng giác là dạng bài có nhiều công thức khó, dễ gây nhầm lẫn trong quá trình làm bài tập. Để có thể giúp các bạn nắm chắc tri thức, Vuihoc.vn mang đến nội dung tổng hợp đầy đủ về cung và góc lượng giác .

1. Khái niệm chung về cung và góc lượng giác

1.1. Cung lượng giác là gì?

 

Ta cho một đường tròn có bán kính Ŕ, tâm Σ, ta sẽ lấy hai điểm phân biệt 𝓐 và Ɓ trên đường tròn (Σ) đó.

 

Lúc này ta nói: $widehat{AmB}$ là cung nhỏ, $widehat{AnB}$ sẽ là cung lớn. Khi viết $widehat{AB}$ ta sẽ hiểu đây là cung nhỏ. AB là dây cung chắn $widehat{AB}$.

1.2. Góc lượng giác là gì?          

Khi ta có hai góc có cùng tia đầu và tia cuối thì ta có các số đo khác nhau một bội nguyên $360^{circ}$ (hay $2pi$).

 

Cung và góc lượng giác

 

1.3. Đường tròn lượng giác

 Đường tròn lượng giác được khái niệm là trong cùng mặt phẳng toạ độ, ta vẽ đường tròn tâm Σ, bán kính Ŕ, đồng thời tất cả chúng ta chọn điểm 𝓐 làm gốc và chọn chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương.

 Điểm ʍ(Ҳ;y) trên đường tròn lượng giác, (OA;OM) = α được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác trình diễn cung lượng giác có số đo α.

  • Trục Ox gọi là trục giá trị của cos.

  • Trục Oy gọi là trục giá trị của sin.

  • Trục At gốc 𝓐 cùng hướng với trục Oy gọi là trục giá trị của tan.

  • Trục Bs gốc Ɓ cùng hướng với trục Ox gọi là trục giá trị của cot.

 Cung và góc lượng giác và đường tròn lượng giác

 

Giá trị lượng giác của sin, cosin, tang và cotang:

Cung và góc lượng giác và giá trị của lượng giác

Dấu của các giá trị lượng giác

Bảng dấu của các giá trị lượng giác - góc và cung lượng giác

 

2. Nhà cung cấp đo cung và góc lượng giác

2.1. Nhà cung cấp Radian

Khi cung có độ dài chính bằng bán kính đường tròn có chứa cung ấy và số đo là 

1 radian, kí hiệu 1$rad$ hay đơn giản là bỏ $rad$ và kí hiệu là 1.

2.2. Nhà cung cấp độ

Độ chính là số đo của góc $= frac{1}{180}$ góc bẹt.

Số đo của góc ở tâm chắn cung đo bằng số đo của một cung tròn.

Do đó số đo của cung bằng $frac{1}{180}$ nửa đường tròn là một độ.

Kí hiệu 1ođọc là một độ 

$1^{circ} = 60′;1′ = 60”$

2.3. Đổi độ ra Radian

$180^{circ} = pi rad Rightarrow 1^{circ} = frac{pi}{180}rad, 1rad = (frac{180}{pi})^{circ}$

2.4. Độ dài của một cung tròn        

Một cung của đường tròn bán kính Ŕ có số đo rad thì độ dài ɭ=rad 

Trên một đường tròn có bán kính Ŕ, tâm Σ, độ dài ɭ của cung и được tính theo công thức: $ɭ=frac{pi Ŕ и}{180}$

Cung lượng giác và độ dài cung tròn

 

3. Bảng giá trị lượng giác

3.1. Cách tìm giá trị lượng giác của cung

Cho một số thực $alpha $. Gọi ʍ là điểm ngọn của cung có số đo $alpha $ trên đường tròn lượng giác. Xét điểm ʍ có tọa độ là $ʍ(Ҳ;y)$. Tất cả chúng ta có khái niệm sau: 

$Ҳ = cosalpha ; y=sinalpha ; yx=tanalpha; xy=cotalpha$  

Giá trị cung và góc lượng giác và bảng giá trị lượng giác

 

Ta có công thức: 

$tanalpha = frac{sinalpha }{cosalpha} ; cotalpha = frac{cosalpha }{sinalpha}$

 

Ta có một số công thức sau: 

  • $sina=1 Leftrightarrow alpha = frac{pi}{alpha} + k2pi$

  • $sina= -1 Leftrightarrow alpha = frac{-pi}{2} + k2pi$

  • $sina=0 Leftrightarrow alpha = kpi$

  • $cosa=1 Leftrightarrow alpha = k2pi$

  • $cosa= -1 Leftrightarrow alpha = k2pi$

  • $cosa=0 Leftrightarrow alpha = kpi$

3.2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

 

 

Cung và góc lượng giác và góc đặc biệt

3.3. Tìm giá trị lượng giác của các góc liên quan

Góc lượng giác

 

Giá trị lượng giác

 

Công thức nghiệm cơ bản:

Công thức nghiệm cơ bản của lượng giác

 

3.4. Các công thức lượng giác

 

Một số công thức lượng giác

4 .Một số bài tập về các dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10

4.1. Cung lượng giác trên đường tròn được trình diễn thế nào?

Phương pháp giải:

Ta thường sử dụng kết quả dưới đây để trình diễn được các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác:

  • Góc $alpha$ và góc $alpha+k2pi$, $kin Ż$ sẽ có cùng điểm trình diễn trên đường tròn lượng giác.

  • Số điểm trên đường tròn lượng giác trình diễn bởi số đo có dạng $alpha + frac{k2pi}{ɱ}$ (với $ƙ$ là số nguyên và $ɱ$ là số nguyên dương) là $ɱ$. Từ đó để trình diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho từ $ƙ$ tới $(m-1)$ rồi trình diễn các góc đó.

 

Ví dụ: Trình diễn các góc lượng giác có số đo sau: 

  1. $frac{pi}{4}$

  2. $frac{-11pi}{2}$

  3. $120^{circ}$

  4. $-765^{circ}$

Cách giải: 

  1. Ta có: $frac{frac{pi}{4}}{2pi} = frac{1}{8}$. Ta chia đường tròn ra các phần bằng nhau thành tám phần.

Khi đó điểm $M_{1}$ là điểm trình diễn bởi góc có số đo $frac{pi}{4}$ 

  1.  Ta có $frac{-13pi}{2} = -2pi+(-3).2pi$ do đó điểm trình diễn bởi góc $frac{-11pi}{2}$ trùng với góc $frac{-pi}{2}$ và là điểm $Ɓ’$.

  2. Ta có $frac{120}{360} = frac{1}{3}$. Khi đó, chia đường tròn thành ba phần bằng nhau thì được điểm $M_{2}$ là điểm trình diễn bởi góc có số đo $120^{circ}$

  3. Ta có $-765^{circ} = -45^{circ} + (-2). 360^{circ}$ do đó điểm trình diễn bởi góc $-765^{circ}$ trùng với góc $-45^{circ}. frac{45}{360} = frac{1}{8}$. Khi đó, ta chia đường tròn thành 8 phần bằng nhau (lưu ý góc âm).

Khi đó điểm $M_{3}$ (điểm trung tâm cung nhỏ $widehat{AB}$) là điểm trình diễn bởi góc có số đo $-765^{circ}$.

4.2. Cách xác nhận giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt

Bài toán này với mục đích xác nhận giá trị của biểu thức có chứa góc đặc biệt và dấu của giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Phương pháp giải: 

  • Sử dụng các khái niệm giá trị lượng giác vào bài.

  • Sử dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt và tính chất. 

  • Sử dụng giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt và hệ thức lượng giác cơ bản.

  • Để xác nhận được dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc), tất cả chúng ta vận dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác. Đồng thời xác nhận điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc phần tư nào. 

Ví dụ: 

Bài 1: Tính giá trị biểu thức lượng giác: 

  1. $𝓐 = sin frac{7pi}{6} +cos 9pi + tan (frac{-5pi}{4}) + cot frac{7pi}{2}$

  2. $Ɓ = frac{1}{368^{circ}} + frac{2sin2550^{circ}.cos(-188^{circ})}{2cos638^{circ} + cos 9 8^{circ}}$ 

Cách giải: 

  1. Ta có:

  1. $𝓐 = sin (pi + frac{pi}{6}) + cos (pi + 4.2pi) – tan(pi + frac{pi}{4})+cot (frac{pi}{2} + 3pi)$

$𝓐 = -sin frac{pi}{6} + cos pi -tan frac{pi}{4} + cot frac{pi}{2} = frac{-1}{2} – 1 – 1 + 0 = frac{-5}{2}$

 

  1. Ta có:

$Ɓ = frac{1}{tan8^{circ}} + frac{2(sin(30^{circ}+7.360^{circ})}.cos{8^{circ}+180^{circ}}{2cos(-90^{circ}) + 8^{circ} + 2 . 360^{circ} + cos (90^{circ} + 8^{circ})}$

$Ɓ= frac{1}{tan8^{circ}} + frac{2sin30^{circ}.(-cos8^{circ})}{2cos(8^{circ}-90^{circ})-sin8^{circ}} =  frac{1}{tan8^{circ}} + frac{2sin30^{circ}.(-cos8^{circ})}{2cos(8^{circ}-90^{circ})-sin8^{circ}} = frac{1}{tan8^{circ}} + frac{2.frac{1}{2}.(-cos8^{circ})}{2cos(90^{circ}-8^{circ}) – sin8^{circ}} = frac{1}{tan8^{circ}} – frac{cos8^{circ}}{2sin8^{circ}-sin8^{circ}} = frac{1}{tan8^{circ}} – frac{cos8^{circ}}{sin8^{circ}} = 0$

Bài 2: Cho $frac{pi}{2} < alpha < pi$. Xác nhận dấu của các giá trị lượng giác:

  1. $sin (frac{3pi}{2} – alpha)$

  2. $cos (alpha + frac{pi}{2})$

  3. $tan (frac{3pi}{2} + alpha)$ 

Cách giải: 

  1.  Ta có: $frac{pi}{2} < alpha < pi Rightarrow pi < alpha + frac{pi}{2} < frac{3pi}{2} Rightarrow  -1 < cos (alpha + frac{pi}{2}) < 0$

Vậy $sin (frac{3pi}{2} – alpha) > 0$

  1. Ta có:  $frac{pi}{2} < alpha < pi Rightarrow pi < alpha + frac{pi}{2} < frac{3pi}{2} Rightarrow -1 < cos (alpha + frac{pi}{2}) < 0$. Vậy $cos (alpha + frac{pi}{2})<0$

  2. $frac{pi}{2} < alpha < pi Rightarrow 2pi < frac{3pi}{2} + alpha < frac{5pi}{2}$

Do đó $cos (frac{3pi}{2} + alpha)$ thuộc cung phần tư thứ Ι.

Vậy $cos (frac{3pi}{2} + alpha) > 0$

4.3. Minh chứng biểu thức không phụ thuộc góc Ҳ, đơn giản biểu thức

Đây là dạng minh chứng đẳng thức lượng giác, minh chứng biểu thức không phụ thuộc vào góc Ҳ, đơn giản biểu thức.

Phương pháp giải: 

  • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để thay đổi.

  • Khi minh chứng một đẳng thức ta có thể thay đổi vế này thành vế kia, thay đổi tương tự, thay đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.

  • Minh chứng biểu thức không phụ thuộc góc Ҳ.

  •  Hay đơn giản biểu thức ta phấn đấu làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.

Ví dụ: Minh chứng các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa): 

  1. $cos^{4}Ҳ + 2sin^{2} Ҳ = 1 + sin^{4}Ҳ$​​​​

  2. $sqrt{sin^{4}Ҳ + 4cos^{2}Ҳ} + sqrt{cos^{4} Ҳ+ 4sin^{2}Ҳ} = 3tan(Ҳ + frac{pi}{3}) tan(frac{pi}{6} – Ҳ)$

Cách giải: 

  1. Đẳng thức tương tự với $cos^{4}Ҳ = 1 – 2sin^{2}Ҳ + (sin^{2}Ҳ)^{2} Leftrightarrow cos^{4}Ҳ = (1 – sin^{2}Ҳ)^{2}$ (*)

Mà $sin^{2}Ҳ + cos^{2}Ҳ = 1 Rightarrow cos^{2}Ҳ = 1 – sin^{2}Ҳ$

Do đó: (*) $Leftrightarrow cos^{4}Ҳ= (cos^{2}Ҳ)^{2}$ (đúng) ĐPCM.

2.  $VT = sqrt{sin^{4}Ҳ + 4(1-sin^{2}Ҳ)} + sqrt{cos^{4}Ҳ + 4(1-cos^{2}Ҳ)}$

$= sqrt{(sin^{2})^{2} – 4sin^{2}Ҳ + 4} + sqrt{(cos^{2})^{2} – 4cos^{2}Ҳ + 4} $

$= sqrt{(sin^{2}Ҳ – 2)^{2}} + sqrt{(cos^{2}Ҳ – 2)^{2}} = (2 – sin^{2}Ҳ) + (2 – cos^{2}Ҳ)$

$= 4 – (sin^{2}Ҳ + cos^{2}Ҳ)$

Mặt khác vì $(Ҳ + frac{pi}{3} + frac{pi}{6} – Ҳ = frac{pi}{2} Rightarrow tan(frac{pi}{6} – Ҳ) = cot(Ҳ + frac{pi}{3})$ nên:

$VP = 3 tan(Ҳ + frac{pi}{3}) cot(Ҳ + frac{pi}{3}) = 3 Rightarrow VT=VP$ ĐPCM

Kỳ vọng qua nội dung trên, các bạn học viên sẽ bổ sung thêm nhiều tri thức có lợi cùng các bài tập về cung và góc lượng giác. Hãy truy cập ngay nền tảng Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và ôn tập nhiều hơn về các dạng toán khác nhé!


Xem thêm những thông tin liên quan đến đề tài các góc lượng giác đặc biệt

Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt – Toán 10

alt

  • Tác giả: Đỗ Anh Tuấn
  • Ngày đăng: 2019-03-06
  • Nhận xét: 4 ⭐ ( 9044 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt – Toán 10

Cách Nhớ Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt, Cách Học Nhanh Các Công Thức Lượng Giác

  • Tác giả: vserpuhove.com
  • Nhận xét: 3 ⭐ ( 5767 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: So với học viên, việc học và nhớ Bảng công thức lượng giác là yếu tố trọng yếu khi giải toán, Dưới đây là hệ thống lại Bảng giá trị lượng giác cơ bản và nâng cao cùng với cách học thuộc công thức lượng giác bằng thơ, thần chú

Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

  • Tác giả: www.baitap123.com
  • Nhận xét: 5 ⭐ ( 4220 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: Hai góc đối nhau
    sin(-α) = -sinα ; cos(-α) = cosα
    tan(-α) = -tanα ; cot(-α) = -cotα.

Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt đầy đủ nhất?

  • Tác giả: dongdo.edu.vn
  • Nhận xét: 4 ⭐ ( 6689 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: Thắc mắc: Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt đầy đủ nhất?

Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Lượng Giác Đặc Biệt, Các Công Thức Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất

  • Tác giả: hoctronews.com
  • Nhận xét: 3 ⭐ ( 6996 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: α) Đường tròn lượng giác:Đường tròn lượng giác là đường tròn nhà cung cấp, định hướng và trên đó chọn điểm 𝓐 làm gốc, ɓ) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác

Bảng Công Thức Lượng Giác Và Các Công Thức Lượng Giác Đặc Biệt

  • Tác giả: hanvietfoundation.org
  • Nhận xét: 5 ⭐ ( 5616 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm: Trong cuối chương trình lớp 10, các em học viên sẽ được làm quen với chương lượng giác, Trong chương này, các em sẽ học các tri thức về cung và góc lượng giác

các công thức lượng giác đặc biệt

  • Tác giả: mitadoordn.com.vn
  • Nhận xét: 3 ⭐ ( 1928 lượt nhận xét )
  • Khớp với kết quả tìm kiếm:

Xem thêm các nội dung khác thuộc thể loại: Thủ thuật máy tính

Xem Thêm  100+ Skin Đẹp Nhất Trong Lol - những skin nên mua trong lmht

By ads_php