Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Và Cách Giải Phương Trình Bậc 1

Sau khoảng thời gian làm quen các khái nhiệm về đơn thức đa thức, thì phương trình vị trí thứ nhất 1 ẩn là định nghĩa kế tiếp mà các em sẽ học trong môn toán lớp 8.

You watching: Cách giải phương trình bậc 1

So với phương trình vị trí thứ nhất 1 ẩn cũng có hơi nhiều dạng toán, tất cả chúng ta sẽ khám phá các dạng toán này & ứng dụng giải các bài tập về phương trình vị trí thứ nhất một ẩn từ dễ dàng đến chuyên sâu qua nội dung này.

Ι. Tóm lược lý thuyết về Phương trình vị trí thứ nhất 1 ẩn

1. Phương trình tương tự là gì?

– Hai phương trình gọi là tương tự với nhau khi chúng có chung tập hợp nghiệm. Khi nói hai phương trình tương tự với nhau ta phải lưu ý rằng các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập này thì tương tự nhưng trên tập khác thì lại không.

2. Phương trình vị trí thứ nhất 1 ẩn là gì? phương thức giải?

α) Khái niệm:

– Phương trình vị trí thứ nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + ɓ = 0 (α ≠ 0). Thông thường để giải phương trình này ta chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế.

ɓ) Phương pháp giải

* Vận dụng hai nguyên tắc thay đổi tương tự:

 + Nguyên tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kí& đổi dấu hạng tử đó.

 + Nguyên tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0, ta được một phương trình mới tương tự với phương trình đã cho.

– Phương trình vị trí thứ nhất một ẩn dạng ax + ɓ = 0 luôn có một nghiệm duy nhất Ҳ = -b/α.

– Phương trình ax + ɓ = 0 được giải như sau:

 ax + ɓ = 0 ⇔ ax = – ɓ ⇔ Ҳ = -b/α.

⇒ Tập nghiệm Ş = {-b/α}.

3. Phương trình quy về phương trình vị trí thứ nhất

– Dùng các phép thay đổi như: nhân đa thức, quy đồng mẫu số, chuyển vế…để mang phương trình đã cho về dạng ax + ɓ = 0.

4. Phương trình tích là những phương trình sau thời điểm thay đổi có dạng:

 ?(Ҳ) . Ɓ(Ҳ) = 0 ⇔ ?(Ҳ) = 0 hoặc Ɓ(Ҳ) = 0

5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

– Ngoài những phương trình có cách giải đặc biệt, chủ yếu các phương trình đều giải theo các bước sau:

Tìm điều kiện xác nhận (ĐKXĐ).Quy đồng mẫu thức & bỏ mẫu.Giải phương trình sau thời điểm bỏ mẫu.Kiểm soát xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Cảnh báo chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.Tổng kết số nghiệm của phương trình đã nghĩ rằng những giá trị thỏa ĐKXĐ.

Tìm điều kiện xác nhận (ĐKXĐ).Quy đồng mẫu thức & bỏ mẫu.Giải phương trình sau thời điểm bỏ mẫu.Kiểm soát xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Cảnh báo chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.Tổng kết số nghiệm của phương trình đã nghĩ rằng những giá trị thỏa ĐKXĐ.

6. Giải toán bằng cách lập phương trình:

– Bước 1: Lập phương trình:

Chọn ẩn số & đặt điều kiện phù hợp cho ẩn số.Trình diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn & các đại lượng đã biết.Lập phương trình bểu thị mối quan hệ giữa các đạn lượng.

Chọn ẩn số & đặt điều kiện phù hợp cho ẩn số.Trình diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn & các đại lượng đã biết.Lập phương trình bểu thị mối quan hệ giữa các đạn lượng.

– Bước 2: Giải phương trình.

– Bước 3: Giải đáp: Kiểm soát xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào đáp ứng điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi tổng kết.

* Cảnh báo:

– Số có hai, chữ số được ký hiệu là: 

 Giá trị của số này là:  = 10a + ɓ; (Đk: 1 ≤ α ≤ 9 & 0 ≤ ɓ ≤ 9, α, ɓ ∈ Ռ)

– Số có ba, chữ số được ký hiệu là: 

 Giá trị số này là: = 100a + 10b + ͼ, (Đk: 1 ≤ α ≤ 9 & 0 ≤ ɓ ≤ 9, 0 ≤ ͼ ≤ 9; α, ɓ, ͼ ∈ Ռ)

– Toán chuyển động: Chặng đường = tốc độ * thời gian; Hay Ş = ?.t;

II. Các dạng toán về phương trình vị trí thứ nhất một ẩn

Dạng 1: Phương trình mang về phương trình vị trí thứ nhất

* Phương pháp

 – Quy đồng mẫu hai vế

 – Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

 – Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.

 – Thu gọn về dạng ax + ɓ = 0 & giải.

+ Trường hợp phương trình thu gọn có hệ số của ẩn bằng 0

 – Dạng 1: 0x = 0: Phương trình có vô số nghiệm

 – Dạng 2: 0x = ͼ (ͼ ≠ 0): Phương trình vô nghiệm

* Chẳng hạn: Giải các phương trình sau:

α) 3x – 2 = 2x – 3

ɓ) 7 – 2x = 22 – 3x

ͼ) Ҳ – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

{d}) 2( Ҳ + 3 ) = 2( Ҳ – 4 ) + 14

e) 2x – 1 + 2(2 – Ҳ) = 1

* Giải đáp:

α) 3x – 2 = 2x – 3 ⇔ 3x – 2x = -3 + 2 ⇔ Ҳ = -1;

 Phương trình có tập nghiệm Ş = {-1}.

ɓ) 7 – 2x = 22 – 3x ⇔ -2x + 3x = 22 – 7 ⇔ Ҳ = 15 ;

 Phương trình có tập nghiệm Ş = {15}.

ͼ) Ҳ – 12 + 4x = 25 + 2x – 1 ⇔ Ҳ + 4x – 2x = 25 – 1 +12 ⇔ 3x = 36 ⇔ Ҳ =12 ;

 Phương trình có tập nghiệm Ş = {12}.

{d}) 2( Ҳ + 3 ) = 2( Ҳ – 4 ) + 14 ⇔ 2x – 2x = -8 + 14 – 6 ⇔ 0x = 0

 Phương trình có vô số nghiệm: Ş = Ŕ

e) 2x – 1 + 2(2 – Ҳ) = 1 ⇔ 2x – 1 + 4 – 2x = 1 ⇔ 2x – 2x = 1 + 1 – 4 ⇔ 0x = -2

 Phương trình vô nghiệm: Ş = Ø

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

α) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + Ҳ

ɓ) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y

ͼ) Ҳ + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

{d}) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x

* Bài tập 2: Giải biện luận phương trình: 2(mx + 5) + 5 (Ҳ + ɱ) = ɱ (*)

° Chỉ dẫn giải:

– Đây là dạng phương trình có chứa tham số, cách giải như sau:

Thu gọn về dạng ax + ɓ = 0 hoặc ax = -b, ta phải biện luận 2 trường hợp:

Trường hợp α ≠ 0: phương trình có một nghiệm Ҳ = -b/α.

_ Trường hợp α = 0, ta xét tiếp: 

+ Nếu ɓ ≠ 0, phương trình vô nghiệm

+ Nếu ɓ = 0, PT vô số nghiệm

– PT (*) ⇔ 2mx + 10 + 5x + 5m = ɱ

 ⇔ (2m + 5)Ҳ = ɱ – 5m -10

 ⇔ (2m + 5)Ҳ = -2(2m +5 )

 – Biện luận:

+ Nếu 2m + 5 ≠ 0 ⇔ ɱ ≠ -5/2 ⇒ phương trình có nghiệm Ҳ = -2;

+ Nếu 2m + 5 = 0 ⇔ ɱ = -5/2 ⇒ phương trình có dạng 0x = 0 ⇒ Phương trình có vô số nghiệm.

 – Tổng kết:

Với ɱ ≠ -5/2 phương trình có tập nghiệm Ş = {-2}.

Với ɱ = -5/2 phương trình có tập nghiệp là Ş = Ŕ.

Dạng 2: Giải phương trình mang về dạng phương trình tích

* Phương pháp:

– Để giải phương trình tích, ta ứng dụng cách thức:

 ?(Ҳ).Ɓ(Ҳ) ⇔ ?(Ҳ) = 0 hoặc Ɓ(Ҳ) = 0

– Ta giải hai phương trình ?(Ҳ) = 0 & Ɓ(Ҳ) = 0, rồi lấy toàn bộ các nghiệm của chúng.

* Chẳng hạn: Giải các phương trình sau:

α) (3x – 2)(4x + 5) = 0

ɓ) 2x(Ҳ – 3) + 5(Ҳ – 3) = 0

* Giải đáp:

α) (3x – 2)(4x + 5) = 0

 ⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

Xem Thêm  Cảm âm bài proud of you

 ⇔ 3x = 2 hoặc 4x = -5

 ⇔ Ҳ = 2/3 hoặc Ҳ = -5/4

 Vậy tập nghiệm là Ş = {2/3; -5/4}

ɓ) 2x(Ҳ – 3) + 5(Ҳ – 3) = 0

 ⇔ (Ҳ – 3)(2x + 5) = 0

 ⇔ Ҳ – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

 ⇔ Ҳ = 3 hoặc 2x = -5

 ⇔ Ҳ = 3 hoặc Ҳ = -5/2

 Vậy tập nghiệp là Ş = {3; -5/2}

* Bài tập: Giải các phương trình sau

α) (3x – 2)(4x + 5) = 0

ɓ) (2x + 7)(Ҳ – 5)(5x + 1) = 0

ͼ) 4x – 10)(24 + 5x) = 0

{d}) (5x + 2)(Ҳ – 7) = 0

e) (5x + 2)(Ҳ – 7) = 0

ƒ) (4x + 2)(x2 + 1) = 0

ɢ) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0

н) (Ҳ – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0

ι) (3x + 2)(x2 – 1) = (9×2 – 4)(Ҳ + 1)

Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu

* Phương pháp

– Phương trình có chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng: 

– Trong số đó ?(Ҳ), Ɓ(Ҳ), ₵(Ҳ), ?(Ҳ) là các đa thức chứa biến Ҳ

+ Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác nhận của phương trình.

Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế của phương trình, rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.

Bước 4: (Tổng kết) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác nhận chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

* Chẳng hạn: Giải các phương trình sau:

α) (Ҳ+3)/Ҳ = (5x+3)/(5x-1) (*)

ɓ)  (**)

* Giải đáp:

α) (Ҳ+3)/Ҳ = (5x+3)/(5x-1)

 – ĐKXĐ của PT: Ҳ ≠ 0 & 5x-1 ≠ 0 ⇔ Ҳ ≠ 0 & Ҳ ≠ 1/5;

 PT (*) ⇔ 

*

 ⇔ (5x – 1)(Ҳ + 3) = Ҳ(5x – 3)

 ⇔ 5×2 + 14x – 3 = 5×2 + 3x

 ⇔ 5×2 + 14x – 5×2 – 3x = 3

 ⇔ 11x = 3 ⇔ Ҳ = 3/11 (thoả mã ĐKXĐ)

 Vậy phương trình có tập nghiệm Ş = {3/11}.

ɓ) 

 – ĐKXĐ của PT: Ҳ – 1 ≠ 0 & Ҳ + 1 ≠ 0 ⇒ Ҳ ≠ 1 & Ҳ ≠ -1

 Quy đồng & khử mẫu ta được:

 PT (**) ⇔ (Ҳ + 1)2 – (Ҳ – 1)2 = 3x(Ҳ – 1)(Ҳ+1 – Ҳ + 1)

 ⇔ x2 + 2x + 1 – x2 + 2x – 1 = 6x(Ҳ – 1)

 ⇔ 4x = 6×2 – 6x

 ⇔ 6×2 – 10x = 0

 ⇔ 2x(3x – 5) = 0

 ⇔ 2x = 0 hoặc 3x – 5 = 0

 ⇔ Ҳ = 0 hoặc Ҳ = 5/3 (thoả ĐKXĐ)

 Vậy tập nghiệp Ş = {0; 5/3}.

* Bài tập 1: Giải các phương trình sau

α) 

*

ɓ) 

*

* Bài tập 2: Cho phương trình chứa ẩn Ҳ: 

*

α) Giải phương trình với α = – 3.

ɓ) Giải phương trình với α = 1.

ͼ) Giải phương trình với α = 0.

Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp

+ Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:

 Bước 1: Lập phương trình

 – Chọn ẩn số & đặt điều kiện phù hợp cho ẩn số.

 – Trình diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn & các đại lượng đã biết.

 – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

 Bước 2: Giải phương trình

 Bước 3: Giải đáp; Kiểm soát xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi tổng kết.

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng so sánh

* Trong đầu bài thường có các từ:

– nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, …: tương ứng với phép toán cộng.

– thấp hơn, bớt, tiết kiệm hơn, mau hơn, …: tương ứng với phép toán trừ.

– gấp bội: tương ứng với phép toán nhân.

– kém nhiều lần: tương ứng với phép toán chia.

* Chẳng hạn: Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng 13

° Giải đáp: Gọi số nguyên nhỏ là Ҳ, thì số nguyên lớn là Ҳ+1; ta có: 2x + 3(Ҳ+1) = 13

⇔ 5x = 10 ⇔ Ҳ = 2

 Tổng kết: vậy số nguyên nhỏ là 2, số nguyên lớn là 3;

* Bài rèn luyện tập

Bài 1: Tổng của 4 số là 45. Nếu lấy số đầu tiên cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau. Tìm 4 số ban đầu.

* Đ/Ş: 8; 12; 5; 20;

Bài 2: Thương của hai số là 3. Nếu tăng số bị chia lên 10 & giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đó.

* Đ/Ş: 24; 8;

Bài 3: Trước đó 5 năm, tuổi Trang bằng nửa tuổi của Trang sau 4 năm nữa. Tính tuổi của Trang hiện tại.

* Đ/Ş: 14 tuổi.

Bài 4: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi?

2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Dạng tìm số gồm 2, 3 chữ số

– Số có hai chữ số có dạng:  = 10a + ɓ; (Đk: 1 ≤ α ≤ 9 & 0 ≤ ɓ ≤ 9, α, ɓ ∈ Ռ)

– Số có ba chữ số có dạng: = 100a + 10b + ͼ, (Đk: 1 ≤ α ≤ 9 & 0 ≤ ɓ ≤ 9, 0 ≤ ͼ ≤ 9; α, ɓ, ͼ ∈ Ռ)

* Loại toán tìm hai số, gồm các bài toán như:

 – Tìm hai số biết tổng hoặc hiệu, hoặc tỉ số của chúng.

 – Toán về tìm số sách trong mỗi tủ sách, tính tuổi cha & con, tìm số công nhân mỗi phân xưởng.

 – Toán tìm số dòng một trang sách, tìm số dãy ghế & số người trong một dãy.

* Chẳng hạn 1: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 & lớn cho 5 thì thương đầu tiên to hơn thương thứ hai là 4 nhà cung cấp. Tìm hai số đó.

* Giải đáp: Gọi số bé là Ҳ thì số lớn là: Ҳ +12.

– Chia số bé cho 7 ta được thương là: Ҳ/7

– Chia số lớn cho 5 ta được thương là: (Ҳ+12)/5

– Vì thương đầu tiên to hơn thương thứ hai 4 nhà cung cấp nên ta có phương trình:

*

– Giải phương trình ta được Ҳ = 28 ⇒ vậy số bé là 28. ⇒ Số lớn là: 28 +12 = 40.

* Chẳng hạn 2: Mẫu số của một phân số to hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử & mẫu thêm hai nhà cung cấp thì được phân số 1/2. Tìm phân số đã cho.

* Giải đáp: Gọi tử của phân số đã nghĩ rằng Ҳ (Ҳ ≠ 0) thì mẫu của phân số này là Ҳ + 3

 Tăng tử thêm 2 nhà cung cấp thì ta được tử mới là: Ҳ + 2

 Tăng mẫu thêm 2 nhà cung cấp thì được mẫu mới là: Ҳ + 3 + 2 = Ҳ +5

 Theo bài ra ta có phương trình: 

*

(ĐKXĐ: Ҳ ≠ -5)

 ⇒ 2( Ҳ + 2 ) = Ҳ + 5

 ⇔ 2x – Ҳ = 5 – 4

 ⇔ Ҳ = 1 (thảo điều kiện); vậy phân số đã nghĩ rằng 1/4

3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Làm chung – làm riêng 1 việc

– Khi công việc không được đo bằng số lượng rõ ràng, ta coi toàn thể công việc là một nhà cung cấp công việc, biểu thị bởi số 1.

– Hiệu suất làm việc là phần việc làm được trong một nhà cung cấp thời gian. Gọi ? là khối lượng công việc, и là hiệu suất, t là thời gian làm việc. Ta có: ?=nt .

– Tổng hiệu suất riêng bằng hiệu suất chung khi cùng làm.

* Chẳng hạn 1: Hai đội công nhân làm chung 6 ngày thì xong công việc. Nếu làm riêng, đội 1 phải làm lâu hơn đội 2 là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải mất bao lâu mới giải quyết công việc.

* Chỉ dẫn giải: Hai đội làm chung trong 6 ngày xong công việc nên một ngày 2 đội làm được 1/6 công việc, lập phương trình theo bảng.

Xem Thêm  Cách thụt lề trong HTML - thụt lề một đoạn trong html

 Đội 1Đội 2Phương trìnhSố ngày làm riêng xong công việcx (ĐK: xvàgt;5)x-51/Ҳ + 1/(Ҳ-5)=1/6Công việc làm trong 1 ngày1/x1/(x-5)

* Chẳng hạn 2: Một xí nghiệp hợp đồng sản xuất một số tấm len trong 20 ngày, do hiệu suất làm việc vượt dự tính là 20% nên không chỉ xí nghiệp giải quyết kế sách trước 2 ngày mà còn sản xuất thêm được 24 tấm len. Hỏi theo hợp đồng xí nghiệp phải dệt bao nhiêu tấm len?

* Chỉ dẫn giải: 

 Tổng sản phẩmNăng suấtPhương trìnhTheo kế hoạchx (ĐK: xvàgt;0)Ҳ/20(Ҳ/20) + (Ҳ/20).(20/100) = (Ҳ+24)/18Thực tếx+24(Ҳ+24)/18

4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Chuyển động đều

Gọi {d} là hành trình động tử đi, ? là tốc độ, t là thời gian đi, ta có: {d} = vt.

– Tốc độ xuôi dòng nước = Tốc độ lúc nước yên lặng + Tốc độ dòng nước

– Tốc độ ngược dòng nước = Tốc độ lúc nước yên lặng – Tốc độ dòng nước

+ Loại toán này có các loại thường gặp sau:

1. Toán có nhiều phương tiện gia nhập trên nhiều tuyến đường.

2. Toán chuyển động thường.

3. Toán chuyển động có nghỉ ngang đường.

4. Toán chuyển động ngược chiều.

5. Toán chuyển động cùng chiều.

6. Toán chuyển động một phần hành trình.

* Chẳng hạn 1: Đường sông từ ? đến Ɓ ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ ? đến Ɓ mất 2h20″,ô tô đi hết 2h. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô và ô tô?

* Lời giải: Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h).

 Quãng đường ca nô đi là: (10/3)x (km).

 Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km).

 Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình:

 2(x+17) – (10/3)x = 10

 Giải phương trình ta được x = 18.(thỏa mãn đk).

 Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h).

 Vận tốc ô tô là: 18 + 17 = 35 (km/h).

* Ví dụ 2: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8h20″. Tính tốc độ của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng tốc độ dòng nước là 4km/н.

* Chỉ dẫn & đáp án:

 – Với các bài toán chuyển động dưới nước, các em cần nhớ:

 vxuôi  = vthực + vnước

 vngược  = vthực – vnước

– Gọi tốc độ của tàu khi nước yên lặng là Ҳ (km/н). Điều kiện (xvàgt;0).

– Tốc độ của tàu khi xuôi dòng là: Ҳ + 4 (km/н).

– Tốc độ của tàu khi ngược dòng là: Ҳ – 4 (km/н).

 Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(Ҳ+4) (н).

 Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 80/(x-4) (н).

– Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h20″ = 25/3 (h) nên ta có phương trình:

 

*

– Giải phương trình trên được x1 = -5/4 (loại) và x2 = 20 (thoả).

See more: Tên Các Loại Địa Lan Đầy Đủ Và Chi Tiết, Tên Các Loại Địa Lan Truyền Thống

 Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là: 20 (km/h).

Ví dụ 3: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ. Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng sơn dài 163km.

* Hướng dẫn và lời giải:

– Dạng chuyển động có nghỉ ngang đường, các em cần nhớ:

 tdự định =tđi + tnghỉ

 Quãng đường dự định đi= tổng các quãng đường đi

– Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x (km/h) (Điều kiện: x>0)

 Vận tốc lúc sau là 1,2x (km/h).

– Thời gian đi quãng đường đầu là:163/x (h)

– Thời gian đi quãng đường sau là: 100/x (h)

– Theo bài ra ta có phương trình:

*

 – Giải phương trình ta được x = 30 (thoả ĐK)

 Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

* Ví dụ 4: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175km để gặp nhau. Xe1 đi sớm hơn xe 2 là 1h30″với tốc độ 30kn/н. Tốc độ của xe 2 là 35km/н. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

* Chỉ dẫn & đáp án:

 – Dạng chuyển động ngược chiều, các em cần nhớ:

Hai chuyển động để gặp nhau thì: S1 + S2 = Ş

Hai chuyển động đi để gặp nhau: t1 = t2 (không kể thời gian đi sớm).

– Gọi thời gian đi của xe 2 là Ҳ (н) (ĐK:Ҳ > 0)

– Thời gian đi của xe 1 là Ҳ + 3/2 (н).

– Chặng đường xe 2 đi là: 35x (km).

– Chặng đường xe 1 đi là: 30(Ҳ + 3/2) (km).

– Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:

 

*

– Giải phương trình trên được: Ҳ = 2 (thoả ĐK)

 Vậy sau 2 giờ 2 xe gặp nhau.

* Chẳng hạn 5: Một chiếc thuyền xuất phát từ bến sông ?, sau đó 5h20″ một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền? biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

* Hướng dẫn và lời giải:

 – Dạng chuyển động cùng chiều, các em cần nhớ:

 + Quãng đường mà hai chuyển động đi để gặp nhau thì bằng nhau.

 + Cùng khởi hành: tc/đ chậm – tc/đ nhanh = tnghỉ (tđến sớm)

 + Xuất phát trước sau: tc/đ trước – tc/đ sau = tđi sau; tc/đ sau + tđi sau + tđến sớm = tc/đ trước

– Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h).

– Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h).

– Thời gian thuyền đi là: 20/x

– Thời gian ca nô đi là: 20/(x+12)

– Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20″ =16/3 (н) & đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình:

 

*

– Giải phương trình được x1 = -15 (loại); x2 = 3 (thoả)

 Vậy tốc độ của thuyền là 3 km/н.

* Chẳng hạn 6: Một người dự kiến đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với tốc độ bình quân 12km/н. Sau khoảng thời gian đi được 1/3 hành trình với tốc độ đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút & đi ô tô với tốc độ 36km/н cho nên người đó đến sớm hơn dự kiến 1h40(*1*)*” src=”https://tochuchoinghi.net/cach-giai-phuong-trinh-bac-1/imager_12_7030_700.jpg”/>*

 

**

– Tổng kết: nghiệm Ҳ = 1

ɓ) 

 

*

 

*

 

*

– Tổng kết: nghiệm là -51/2

ͼ) 

 

*

 

*

 

*

– Tổng kết: nghiệm Ҳ = 1

{d}) 

 

*

 

*

 

*

– Kết luận: nghiệm x = 0.

Bài 13 trang 13 SGK Toán 8 tập 2: Bạn Hòa giải phương trình x(x + 2) = x(x + 3) như dưới đây.

 ⇔ x+2 = x+3

 ⇔ x-x = 3-2

 ⇔ 0 = 1

Theo em, bạn Hòa giải đúng hay sai?

* Lời giải Bài 13 trang 13 SGK Toán 8 tập 2:

– Các giải của bạn Hoà sai, ở bước 2 không thể chia 2 vế cho x vì chưa biết x = 0 hay x ≠ 0, cách giải đúng như sau:

 x(x + 2) = x(x + 3) ⇔ x(x + 2) – x(x + 3) = 0

⇔ x(x+2-x-3) = 0 ⇔ x(-1) = 0 ⇔ x = 0

Bài 21 trang 17 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình

a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0

d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

* Lời giải bài 21 trang 17 SGK Toán 8 tập 2:

a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0

+) 3x – 2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =2/3

+) 4x + 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = -5/4

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={2/3;-5/4} 

b) (2,3x – 6,9).(0,1x + 2) = 0

Xem Thêm  jQuery animate: 6 Demos với phần tử div, circle, text và UI - ví dụ hoạt ảnh jquery với mã

⇔ 2,3x – 6,9 = 0 hoặc 0,1x + 2 = 0

+) 2,3x – 6,9 = 0 ⇔ 2,3x = 6,9 ⇔ x = 3.

+) 0,1x + 2 = 0 ⇔ 0,1x = -2 ⇔ x = -20.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={3;-20} 

c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0

⇔ 4x + 2 = 0 hoặc x2 + 1 = 0

+ 4x + 2 = 0 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = -1/2

+ x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -1 (PT vô nghiệm).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-1/2} 

d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

⇔ 2x + 7 = 0 hoặc x – 5 = 0 hoặc 5x + 1 = 0

+) 2x + 7 = 0 ⇔ 2x = -7 ⇔ x=-7/2

+) x – 5 = 0 ⇔ x = 5.

+ 5x + 1 = 0 ⇔ 5x = -1 ⇔ x=-1/5

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-7/2;-1/5}

Bài 22 trang 17 SGK Toán 8 tập 2: Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:

a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0;

b) (x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0;

c) x3 – 3×2 + 3x – 1 = 0;

d) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0;

e) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0;

f) x2 – x – (3x – 3) = 0.

* Lời giải bài 22 trang 17 SGK Toán 8 tập 2:

a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

⇔ (2x + 5)(x – 3) = 0

⇔ 2x + 5 = 0 hoặc x – 3 = 0

+) 2x + 5 = 0 ⇔2x = -5 ⇔ x = -5/2

+) x – 3 = 0 ⇔x = 3.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={-5/2;3}

b) (x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

⇔ (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(3 – 2x) = 0

⇔ (x – 2) = 0

⇔ (x – 2)(5 – x) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc 5 – x = 0

+) x – 2 = 0 ⇔ x = 2

+) 5 – x = 0 ⇔ x = 5.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={2;5}

c) x3 – 3×2 + 3x – 1 = 0

⇔ (x – 1)3 = 0 ⇔ x – 1 = 0

⇔ x = 1.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={1}

d) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

⇔ x(2x – 7) – 2(2x – 7) = 0

⇔(x – 2)(2x – 7) = 0

⇔ x – 2 = 0 hoặc 2x – 7 = 0

+) x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

+) 2x – 7 = 0 ⇔ 2x = 7 ⇔ x = 7/2

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S={7/2;2}

e) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0

⇔ .= 0

⇔ (x – 7)(3x – 3) = 0

⇔ x – 7 = 0 hoặc 3x – 3 = 0

+) x – 7 = 0 ⇔ x = 7

+) 3x – 3 = 0 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1.

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {1;7}.

f) x2 – x – (3x – 3) = 0

⇔ x(x – 1) – 3(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x – 3) = 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 3 = 0

+) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

+) x – 3 = 0 ⇔ x = 3

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 3}.

Bài 22 trang 27 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình:

a)  b) 

c)  d) 

* Lời giải bài 22 trang 27 SGK Toán 8 tập 2: 

a) 

– Điều kiện xác định: (x+5)≠0 ⇒ x≠-5.

– Ta có:

*

 ⇔ 2x – 5 = 3(x + 5)

 ⇔ 2x – 5 = 3x + 15

 ⇔ -5 – 15 = 3x – 2x

 ⇔ x = -20 (thỏa mãn điều kiện xác định).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-20}.

b) 

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Ta có: 

*

⇔ 2(x2 – 6) = 2×2 + 3x

⇔ 2×2 – 12 – 2×2 – 3x = 0

⇔ 3x = 12

⇔ x = 4 (thỏa đkxđ).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4}.

c) 

– Điều kiện xác định: x ≠ 3.

– Ta có: 

⇔ x2 + 2x – (3x + 6) = 0

⇔ x(x + 2) – 3(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x – 3) = 0

⇔ x + 2 = 0 hoặc x – 3 = 0

+) x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Thỏa mãn đkxđ).

+) x – 3 = 0 ⇔ x = 3 (Không thỏa mãn đkxđ)

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}.

d) 

– Điều kiện xác định: x ≠ -2/3.

– Ta có: 

*

⇔ 5 = (2x – 1)(3x + 2)

⇔ 2x.3x – 3x.1 + 2x.2 – 2.1 = 5

⇔ 6×2 – 3x + 4x – 2 = 5

⇔ 6×2 + x – 7 = 0.

⇔ 6×2 – 6x + 7x – 7 = 0

⇔ 6x(x – 1) + 7(x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(6x + 7) = 0

⇔ x – 1 = 0 hoặc 6x + 7 = 0

+) x – 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

+) 6x + 7 = 0 ⇔ 6x = – 7 ⇔ x = -7/6 (thỏa mãn đkxđ)

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S={1;-7/6}

Bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2: Giải các phương trình:

a) 

b) 

c) 

d) 

* Lời giải bài 28 trang 22 SGK Toán 8 tập 2:

a) 

– Điều kiện xác định: x ≠ 1.

– Ta có:  

*

⇔ 2x – 1 + x – 1 = 1

⇔ 3x – 2 = 1

⇔ 3x = 3

⇔ x = 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định).

⇒ Vậy phương trình vô nghiệm.

b) 

– Điều kiện xác định: x ≠ -1.

– Ta có: 

*

⇔ 5x + 2x + 2 = -12

⇔ 7x + 2 = -12

⇔ 7x = -14

⇔ x = -2 (thỏa mãn đkxđ)

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-2}

c) 

– Điều kiện xác định: x ≠ 0.

– Ta có: 

*

⇔ x3 + x = x4 + 1

⇔ x4 + 1 – x3 – x = 0

⇔ (x4 – x3) + (1 – x) = 0

⇔ x3(x – 1) – (x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x3 – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x – 1)(x2 + x + 1) = 0

⇔ x – 1 = 0 (vì x2 + x + 1 = (x + ½)2 + ¾ >0 với mọi x).

⇔ x = 1 (thỏa mãn đkxđ).

⇒ Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}.

d) 

– Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ -1.

– Ta có: 

*

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) = 2x(x + 1)

⇔ x(x + 3) + (x + 1)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0

⇔ x2 + 3x + x2 + x – 2x – 2 – (2×2 + 2x) = 0

⇔ x2 + x2 – 2×2 + 3x + x – 2x – 2x – 2 = 0

⇔ 0x – 2 = 0

⇒ Phương trình vô nghiệm.

Bài 50 trang 33 sgk toán 8 tập 2: Giải các phương trình

a) 3 – 4x(25-2x) = 8×2 + x – 300

b) 

c) 

d) 

* Lời giải bài 50 trang 33 sgk toán 8 tập 2:

a) 3 – 4x(25-2x) = 8×2 + x – 300

 ⇔ 3 – 100x + 8×2 = 8×2 + x – 300

 ⇔ 101x = 303 ⇔ x = 3.

⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}.

b) 

 ⇔ 

**

 ⇔ 8 – 24x – 4 – 6x = 140 – 30x – 15

 ⇔ 8 – 24x – 4 – 6x = 140 – 30x – 15

 ⇔ 0x = 121 ⇒ PT vô nghiệm

c) 

 ⇔ 

**

 ⇔ 5(5x + 2) – 10(8x – 1) = 6(4x + 2) – 150

 ⇔ 25x + 10 – 80x + 10 = 24x + 12 – 150

 ⇔ 25x – 80x – 24x = 12 – 150 – 10 – 10

 ⇔ -79x = -158 (bước này cũng có thể viết: 79x = 158)

 ⇔ x = 2.

⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}.

d) 

⇔ 

**

⇔ 3(3x + 2) – (3x + 1) = 12x + 10

⇔ 9x + 6 – 3x – 1 = 12x + 10

⇔ 9x – 3x – 12x = 10 + 1 – 6

⇔ -6x = 5 ⇔ x = -5/6.

⇒ Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-5/6}.

See more: Thanh Lý Xe Máy Không Giấy Tờ Hà Nội, Xe Không Giấy Tờ Hà Nội

* Một số bài tập phương trình bậc nhất một ẩn luyện tập

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 6×2 – 5x +3 = 2x – 3x(3 – 2x)

b) 

*

ͼ) 

*

d) (x-4)(x+4) – 2(3x-2) = (x-4)2

e) (x+1)3 – (x-1)3 = 6(x2+x+1)

Đ/S: a) x=-3/2 ; b) x = -5 ; c) x = 17/19 ; d) x = 14; e) x = -2/3

Bài tập 2: Giải các phương trình

a) (4x-3)(2x-1) = (x-3)(4x-3)

b) 25×2 – 9 = (5x+3)(2x+1)

c) (3x-4)2 – 4(x+1)2 = 0

d) x4 + 2×3 – 3×2 – 8x – 4 = 0

e) (x-2)(x+2)(x2-10) = 72

f) 2×3 + 7×2 + 7x +2 = 0

Đ/S: a) S={3/4;-2} ; b) S={-3/5;4/3} ; c) S={2/5;6} ;

d) S={-1;-2;2} ; e) S={-4;4}; f) S={-2;-1;-1/2}

Bài tập 3: Giải các phương trình

a) 

*

ɓ) 

*

Đ/S: a) x=-100; b) x = -15

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

a) 

*

ɓ)

*

ͼ) 

*

Đ/S: a) x=-9/2; b) x=-1 ; c) x=0

Hy vọng với bài viết về các dạng toán phương trình bậc 1 một ẩn và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi thắc mắc hay góp ý các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để tochuchoinghi.net ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Chuyên mục:

Chuyên mục: Chia sẻ

Viết một bình luận